前言
S’étant retiré en 1666 à la campagne, près de Cambridge, un jour qu’il se promenait dans son jardin et qu’il voyait des fruits tomber d’un arbre, il se laissa aller à une méditation profonde sur cette pesanteur dont tous les philosophes ont cherché si longtemps la cause en vain, et dans laquelle le vulgaire ne soupçonne pas même de mystère. Il se dit à lui-même : « De quelque hauteur dans notre hémisphère que tombassent ces corps, leur chute serait certainement dans la progression découverte par Galilée; et les espaces parcourus par eux seraient comme les carrés des temps.[1] ——Voltaire，Lettre XV • Sur le système de l’attraction of Lettres philosophiques (1734）
01
从开普勒三定律到伽利略的自由落地运动，物体运动的普适规律最终被牛顿在其拉丁文传世名著《Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica》归结为牛顿运动三定律。在本书的结尾，牛顿把引力描述为作用在太阳和行星上的一种力，它“按其所包含的质量，向各方向传播无限远，并总与距离的平方成反比地减小”。在往后的几百年内，牛顿的引力定律对于阐明月球和行星的运动方面取得了一系列辉煌的成功，天王星的若干不规则性一直得不到解释，直到1846年，英国的约翰·柯西·亚当斯（John Couch Adams）和法国的于尔班·让·约瑟夫·勒威耶（Urbain Jean Joseph Le Verrier）各自独立预言了海王星的存在，并计算出了它的位置。值得一提的是，在预言海王星的前一年，勒威耶算出了水星近日点的实际进动比按照牛顿理论从其他行星的已知摄动中预期值每百年快35”。这个差异在1882年由西蒙·纽康（Simon Newcomb）所证实，并修改为43”。再加上之前研究中，人们发现月球，哈雷（Halley）彗星和恩克（Encke）彗星的运动也与牛顿理论有所偏离。种种迹象都在等待着一个新物理阐释的诞生，而它就是来自于利略提出的相对性原理（Principle of relativity）和麦克斯韦电磁理论的激烈碰撞。
什么是相对性原理
牛顿力学定义了一类参考系，叫做惯性系，其中自然规律就采用《Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica》一书所给出的形式。而理论的出发点就是伽利略的相对性原理，它要求所有惯性系平权，也就是说，要求同一物理定律在所有的惯性系中有相同的数学表达式。使得牛顿对这个点印象深刻的原因是，还存在其他许许多多的参考系不能使运动方程不变。那么，是什么性质确定哪些参考系是惯性系的呢？牛顿给出了自己的答案，一定存在一个绝对空间，而惯性系就是在这个绝对空间中静止，或者相对于绝对空间做匀速直线运动的参考系。
牛顿还亲自做了一个著名的水桶实验来证明自己的观点，实验具体过程是这样的：用一根长的软吊绳提一桶水，把吊绳拧成麻花状。如果你握住吊绳，不让麻花状的绳子松开，桶及桶中的水是相对是静止的，水面是平的。突然放开手，麻花开始放松，吊绳旋转，水桶也随着吊绳旋动。最初，桶中的水并不转动，只有桶在旋转，桶和桶中的水有相对转动。慢慢地，水被桶带动，也开始转动。最后，水和桶一样转动。这时，水和桶之间又是相对静止的，不转动的。但水面却呈凹状，中心低，桶边高。牛顿爵士特别说“ I have experienced”。牛顿认为，水面呈凹状说明了水正在经历着真正的、绝对的圆周运动。在开始时，如果假设水桶是不转动的（即以转动的水桶为参考系），那么水相对于水桶就是转动的，但这时水面却是平的，即这时水虽然相对于水桶是转动的，但这却并不是它真正的、绝对的圆周运动。而在最后，水与水桶同步转动，这时如果以水桶为参考系，则水是静止的，不转动的，但这时水面却凹状的，这说明了水虽然相对于水桶这个参考系来说是不转动的，但它却正经历着真正的、绝对的圆周运动。水桶实验的关键是揭露，有两种“桶及桶中的水是相对是静止”的状态。最初（第一状态），绳被放松之前，“桶及桶中的水是相对是静止的，水面是平的”；最后（第二状态），绳被放松一段时间之后，“水和桶之间又是相对静止的”，水面却是凹状。两种状态中，水和桶之间都是相对静止的，但水面却不同，前者平，后者凹。引起牛顿的疑问，为什麽？于是乎，牛顿认为这说明了水面是平还是凹并不取决于水相对于其他参考系（如水桶）的转动与否，而是取决于其相对于某个特殊的“东西”是否在转动，而这个特殊的东西便是牛顿所认为的“绝对空间”。
“你死我活”的严峻挑战
英国苏格兰数学物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）在前人的工作基础上于1873年发表了一套电磁理论，其中的麦氏方程可被看做电磁场的演化方程，并成功预言了电磁波的存在，证明了电磁波在真空中的传播速率跟真空中的光速$c$相同，从而揭示了光的电磁本性。既然上一节提到的相对性原理是“管定律的定律”，麦氏方程想要成为定律就必须服从，即在任一惯性系中都应取相同的数学表达式，从而导致光速不变原理“电磁波相对于任一惯性系的速率都是$c$”。设想这个一个情况，如下图，$K$和$K’$两个人在玩篮球传球游戏，$K$传球，$K’$接球，$K’$看到球是由于球上的光到达了$K’$。当球在$K$手中静止时，如果$K$和$K’$的距离是$d$，则$K’$看到$K$即将投球的时刻要比$K$本身即将投球的时刻晚$\Delta t=d/c$。当$K$刚刚把球投出去时，球速时$u$，如果光的运动也满足经典力学的速度合成律，那么，这时球上的光速度应为$c+u$。因此，$K’$看到球刚刚从$K$手中投出的时间要比$K$做这个动作的时间晚$\Delta t’=d/(c+u)$。明显$\Delta t > \Delta t’$，意思是说，$K’$会先看到球飞出去，然后再看到$K$的投球动作！
还有一个例子，九百多年前，有一次非常著名的超新星爆发事件（编号：SN 1054），当时北宋的天文学家在史书中对这颗星留下了详细的记录。据《宋史‧天文志》中载：“至和元年五月己丑，出天关东南可数寸，岁余稍没。”《宋会要》卷五十二中记载：“至和元年七月二十二日，守将作监致仕杨维德言：伏睹客星出现，其星上微有光彩，黄色。谨案《黄帝掌握占》云：客星不犯毕，明盛者，主国有大贤。乞付史馆，容百官称贺。诏送史馆。嘉祐元年三月，司天监言：客星没，客去之兆也。初，至和元年五月，晨出东方，守天关，昼见如太白，芒角四出，色赤白，凡见二十三日。”这次爆发的残骸就形成了著名的金牛座中的星云，叫做蟹状星云。这条古老的记录同光速颇有关系。当一颗恒星发生超新星爆发时，它的外围物质向四面八方飞散。也就是说，有些爆炸物向着我们运动（下图A处），有些运动方向则在垂直方向（图中B处）。SN 1054与地球的距离大约是5千光年，爆发速度是每秒1500公里左右。如果还按传球游戏的理论，A点的光和B点的光到达地球的时间差是25年，所以我们至少在25年里都可以看到开始爆发时所产生的强光。然而，历史记录“岁余稍没”，即一年多就不见了，证明了上面的推算是有问题的。
显然麦氏电动力学理论不满足相对性原理，比如在一个匀速运动的惯性系中，因两系有相对速度。于是就出现了以下的局面：①麦氏方程+②相对性原理=>光速不变。似乎如果①和②都成立，就会推出矛盾，两者不相容，而物理学看似只能在两者中做出抉择。
选择A：相对性原理只适用于力学而不适用于电动力学。存在一个特殊的惯性系，麦氏方程在该系成立，真空中光相对于该系速率为$c$；在其他惯性系中麦氏方程不成立，真空光速不为$c$。这个特殊的惯性系在历史上成为“以太（Ether）系”。它来自于人类观察海面上行驶的船，由船激起的海浪的传播速度，一般也不与船的速度有关。自然我们会类比光是在某种“海洋”中的波，它的速度只决定于“海洋”的性质，同光源的速度无关，这样传光的“海洋”就叫做以太。
选择B: 相对性原理对于力学、电动力学等一切物理范畴都适用，但麦氏电磁理论不正确。应该存在一个不同于麦氏的方程组，使得所有惯性系中的数学表达式都有相同形式。
相对性原理与麦氏方程看起来水火不容，必须放弃一个，这是看似一个“你死我活”的挑战。考虑到这两个理论是那么完美，如何选择？历史上的确有诸多尝试，但都陷入到理论上无法自圆其说或者跟实验事实不符的困境中。不过阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）仔细思索，发现了第三种可能性，即放弃“时间的绝对性”。
有一些物理概念是很平凡的，但平凡的概念却往往不是那么简单。比如，“我早上八点开始在家里看书。”，这只是一个很普通的话却牵扯两个最基本的概念。“早上八点”表示时间，是以手中的表或者家里的钟为标准的，“在家里”是地点，也就是空间位置。如果另外一个人说：“我今天也是从早上八点钟开始看书的。”，我们或许立即得到结论，这两个人是同时的，按照“常识”，我们一定会认为“同时”这个性质是绝对的，不是相对的，也就是说，如果有两件事按照一种表（例如北京时间）来计时，它们是同时发生的，那么，按照其他任何的钟表来计时，它们也必定是同时发生的。这就是“时间的绝对性”。
02
大家知道，麦克斯韦电动力学——象现在通常为人们所理解的那样——应用到运动的物体上时，就要引起一些不对称，而这种不对称似乎不是现象所固有的。比如设想一个磁体同一个导体之间的电动力的相互作用。在这里，可观察到的现象只同导休和磁体的相对运动有关，可是按照通常的看法，这两个物体之中，究竟是这个在运动，还是那个在运动，却是截然不同的两回事。如果是磁体在运动，导体静止着，那么在磁体附近就会出现一个具有一定能量的电场，它在导体各部分所在的地方产生一股电流。但是如果磁体是静止的，而导体在运动，那么磁体附近就没有电场，可是在导体中却有一电动势，这种电动势本身虽然并不相当于能量，但是它——假定这里所考虑的两种情况中的相对运动是相等的——却会引起电流，这种电流的大小和路线都同前一情况中由电力所产生的一样。堵如此类的例子，以及企图证实地球相对于“光媒介”运动的实验的失败，引起了这样一种猜想：绝对静止这概念，不仅在力学中，而且在电动力学中也不符合现象的特性。 ——————————《论动体的电动力学》 爱因斯坦
“同时”是相对的
所谓两个事件是同时的，就是说两件事的空间位置可以不同，但发生的时间是一样的。举例，每当广播电台在播送整点信号的时候，在不同地点的许多人都要看一下自己的钟表。如下图，两个钟放在A和B两点，它们与广播电台的距离都等于$L$。如果电台在$t=0$时发出信号，则在$t=L/c$时信号将同时到达A和B，又或信号到达A和B这两件事是同时发生的。通过这种方法，我们利用电台可以把同一惯性系中所有各点上的钟全部对准。
现在，我们站在另一个惯性系上，它以速度$\nu$向左运动。在它看来，电台和A、B三者都以速度$\nu$向右运动。这时，电台到A和B的距离仍然相等，假定为$L’$。因为光速不变，A和射向A的光信号的相对速度为$c+v$（光速不变性是针对光相对于观察者的速度不变，这里$c+v$是观察者看到的一束光与另一物体之间的相对速度。），同样B和射向B的光信号之间的相对速度是$c-v$。因此，假如电台发信号的时间是$t’=0$，则A和B收到信号的时间分别是$t’_A=\frac{L’}{c+v}$和$t’_B=\frac{L’}{c-v}$。在这个惯性系里，信号到A和B这两件事不是同时发生的，证明了“同时”是相对的，它决定于选用哪一个参考系。当参考系变化时，不同时的事可能变成同时，同时的事件也可能变成不同时。
狭义相对论创立
爱因斯坦意识到伽利略变换实际上是牛顿经典时空观的体现，如果承认“真空光速独立于参考系”这一实验事实为基本原理，可以建立起一种新的时空观（相对论时空观）。在这一时空观下，由相对性原理即可导出洛伦兹变换。1905年，爱因斯坦发表论文《论动体的电动力学》，建立狭义相对论，成功描述了在亚光速领域宏观物体的运动。在这篇论文里，他首次提出两个基本假设：
光速不变原理。在所有惯性系中，真空中的光速都等于${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}}=299 792 458$ m/s $（{\displaystyle \mu _{0}}$：真空磁导率，${\displaystyle \epsilon _{0}}$：真空介电常数），与光源运动无关。
狭义相对性原理。在所有惯性系中，物理定律有相同的表达形式。这是力学相对性原理的推广，它适用于一切物理定律，其本质是所有惯性系平权。狭义相对论同样认为空间和时间并不是相互独立的，而它们应该用一个统一的四维时空来描述，并不存在绝对的空间和时间。在狭义相对论中，整个时空仍然是平直线性的，所以在其中就存在“全局惯性系”。狭义相对论将“真空中，光速为常数”作为基本假设，结合狭义相对性原理和上述时空的性质可以推出洛伦兹变换。
洛伦兹变换
现在我们考虑一种特殊情况。有两个事件A和B在F惯性参考系下被观察到，而且A和B还被另一个惯性参考系F’观测。假设F’是一个跟F以X轴平行，并向着X轴正方向以速度$\nu$移动的惯性系。事件A，在F’惯性系下，时空坐标表示为$x_A’,y_A’,z_A’,t_A’$。所以洛伦兹变换（Lorentz transformation）就用来表示F和F’两个惯性系之间的关系： \(x_B'-x_A'=\gamma(x_B-x_A)-\beta\gamma c(t_B-t_A)\)
\[y_B'-y_A'=y_B-y_A\] \[z_B'-z_A'=z_B-z_A\] \[t_B'-t_A'=\gamma(t_B-t_A)-\beta\gamma(x_B-x_A)/c\]其中$c$是光速，$\beta=v/c$，$\gamma=\frac{1}{\sqrt{(1-\beta^2)}}$。两个事件A和B算是同时发生只有在$t_B-t_A=0$时，但是这并不意味着$t_B’-t_A’=0$除非$x_B=x_A$。这就意味着在一个惯性系中同时发生的事件在另外一个惯性系中并不见得是这样。如下图，描述我们刚才讨论的内容，两个惯性系F和F’之间相对速度为$\beta=v/c=0.866$和$\gamma=2$。图中“E”是在F中静止，“L”是在F’中静止。（a）是F系中观察者的视角，（b）则是F’系中观察者的视角，完完全全不同的结果，我们叫做“尺缩效应”。与此对应的时域，也有“钟慢效应”。
03
相对论下电场与磁场的统一
我们可以说，狭义相对论的历史根源在于电磁学。比如，洛伦兹在探索移动电荷的电动力学时，已经可以推出非常接近爱因斯坦的最终狭义相对论公式了。而值得注意的是，爱因斯坦在1905年的伟大论文题目不是“相对论”，而是“论动体的电动力学”。所以电场和磁场是否可以在狭义相对论下达到统一呢？可能有些细节本身就藏在我们熟知的公式中，比如电场力（库伦力）的表达式是$F=qE$，而磁场力（洛伦兹力）为$F=qv\times B$。现在我们所关心的是，磁场强度B是一个矢量，它决定于运动电荷上力在速度方向的分量。换句话说，如果我们要求在某处测量磁场强度B的方向和大小，需要以下操作：首先，取一个已知电荷q的粒子，测量静止时q上的力，以确定电场强度E。然后，测量粒子速度为v时的力，并一直保持速度不变但改变方向重复实验，这样才能得到磁场强度B的值。显然，这是不可能的事。但为什么我们总能找到磁场强度B的值用这么简单的公式，并且对于所有速度都适用？为什么磁场力是跟速度严格正比的力，而电场与速度一点关系都没有？
电荷守恒（Conservation of charge）和电荷不变（Invariance of charge）
虽然有很多经典的实验证明一个系统里的电荷总量不随电荷粒子的运动而变化，我们往往认为这是理所当然的，而忽略这个基础的事实。人们早就发现原子和分子的严格电中性，比如，实验证明了氢分子的中电子与质子所携带的电荷量相差不到$10^{20}$分之一。同样，在包含两个质子和两个电子的氦原子中，虽然质子和电子的运动与氢分子不一致（尤其是质子，不是以0.7埃米的间隔缓慢旋转，而是紧紧地束缚在氦核中，在那里它们以$10^6$eV的动能运动），依旧满足电中性。如果运动对电荷量有任何的影响，我们就不能得到氦原子具有跟氢分子同样实验精度下的电中性特质。另一条证据来自同一元素同位素的光谱，原子虽具有不同的核质量（不同中子数），但至少名义上具有相同的核电荷量。然而我们再次发现，原子核内质子的运动存在显着差异，但两种同位素的谱线比较没有显示出任何一点点的差异。
根据高斯定理我们知道，高斯曲面积分（$\int_{S}E\cdot da$）的值只决定于S曲面里带电粒子的数量和种类，并不考虑它们是怎么运动的。根据狭义相对论的假设，如果对于任何惯性参考系来说，这样的陈述都必须是真的。 因此，如果F’是相对于F运动的另一个惯性系，并且如果S’是该系中的一个封闭表面，它在时间t’里包括了在时间t内也被S包围的相同带电体，则有
这就是狭义相对论下电荷不变的正确表达：我们可以在任意惯性系下选择一个高斯曲面，而对应的曲面积分的值跟曲面相互独立。注意！电荷不变不是电荷守恒！ 我们一般表示电荷守恒为
\[\nabla\cdot J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}\]它意味着如果我们取一个固定在某个坐标系中包含一些带电物质的封闭表面，并且如果没有粒子穿过边界，那么该表面内的总电荷保持不变。而电荷不变是说，如果我们测量一个来自另外参考系的带电物质，我们必定会得到相同的结果。比如说， 能量是守恒的，但能量不是相对论下不变量。电荷是守恒的，电荷还是一个相对论下的不变量。在狭义相对论的语言中，能量是一个由四个向量组成的矢量，而电荷是一个标量，一个相对于洛伦兹变换的不变量。
磁场就是电场
丹麦物理学家汉斯·克里斯蒂安·奥斯特（Hans Christian Ørsted，还是丹麦技术大学DTU的创始人）于1820年的的实验发现载流导线的电流会作用于磁针，使磁针改变方向，但当时磁铁的性质是完全神秘的。很快，法国物理学家安德烈-马里·安培（André-Marie Ampère）和其他人就解开了载流导线之间的相互作用，比如两条具有相同电流方向的平行导线之间有吸引力，最终导致 安倍提出磁性物质包含永久循环电流的假设。他甚至给出了稳定电流相互作用的完整而优雅的数学公式，以及磁化物质与永久电流系统的等效性。他这些关于铁磁性性质的精彩猜想不得不等待一个世纪之后，或多或少地，才能最终得到证实。接下来，将展示的是，如果狭义相对论的假设是有效的，如果电荷不变是对的，并且如果库仑定律成立的话，那么，人们通常称之为“磁”的效应必然会发生。一个简单的系统将说明载流导线的磁相互作用可以被认为是库仑定律的必然推论。
在一般实验的参考系下（Lab frame）如下图（a），有空间坐标x，y，z，其中有一个无限长的电中性导线，它里面的正离子不移动，电子以速度$v_0$向右移动。在现实情况里，正离子和电子是分离的，这里为了清除表达将它们分开来。正离子和电子的线密度都为$\pm\lambda_0$，所以在任意时刻，任意长度的导线包括相同数量的正离子和电子。高斯定律告诉我们，不包含电荷的圆柱体不可能有通量，因此在导线之外的任何地方电场都必须为零，也就是说，在此导线附近静止的测试电荷 q 不会受到任何力。
现在假设测试电荷q不是在实验参考系下静止的，而是以速度$v$在x轴正方向运动，我们切换到测试电荷的参考系（Test charge frame），即下图（b）有空间坐标x’，y’，z’。现在导线好像就带电了！有两个原因可以解释：在测试电荷参考系下，正离子靠得更近，而电子离得更远。因为正离子相比于让其静止的实验参考系，以速度 $v$向x轴负方向移动，所以在测试电荷参考系中看到的正离子之间的距离收缩了$\sqrt{1-v^2/c^2}$或 $1/γ$。于是正离子的线密度相应较大，为 $\gamma\lambda_0$。计算电子的线密度更复杂（详情请见附录），因为电子已经在实验参考系中以$v_0$的速度移动，所以并不是它们的本征线密度，即已经通过洛伦兹因子$\gamma_0$而增加.因此，如果电子在实验参考系中的线密度为 $-\lambda_0$，那在电子自己的静止的参考系下，其线密度一定是$-\lambda_0/\gamma_0$。
我们现在需要电子在测试电荷参考系下的速度$v_0$来计算它的线密度。通过狭义相对论的速度合成定律（详情见附录），由$\beta_0’=v_0’/c$，$\beta_0=v_0/c$，$\beta=v/c$，可知 \(\beta_0'=\frac{\beta_0-\beta}{1-\beta\beta_0}\)
测试电荷参考系下，对应的洛伦兹因子$\gamma_0’=(1-\beta_0’^2)^{-\frac{1}{2}}=\gamma\gamma_0(1-\beta\beta_0)$，所以电子的本征线密度（$-\lambda_0/\gamma_0$）被这个因子放大了$\gamma_0’$倍。电子在测试电荷参考系下的线密度为$-\gamma_0’\lambda_0/\gamma_0=\gamma(1-\beta\beta_0)\lambda_0$。而导线整体的电荷密度则为 \(\lambda'=\gamma\lambda_0-\gamma(1-\beta\beta_0)\lambda_0=\gamma\beta\beta_0\lambda_0\)
结论是导线带了正电！。再由高斯定律可以得知，在测试电荷参考系下，电场力\(F'=qE_r'=\frac{\lambda'}{2\pi \epsilon_0 r'}=\frac{q\gamma\beta\beta_0\lambda_0}{2\pi \epsilon_0 r'}\)
再次转换回到实验参考系下，如下图（c）。垂直于运动方向的力将被减少$1/\gamma$倍（详情见附录），再加上$r=r’$，可知 \(F=\frac{F'}{\gamma}=\frac{q\beta\beta_0\lambda_0}{2\pi \epsilon_0 r}\)
我们又知道$\lambda_0v_0$，或者说$\lambda_0\beta_0c$就是导线中的全部电流值$I$，即在实验参考系下，导线某个点每秒流过的电荷数。所以： \(F=\frac{qvI}{2\pi \epsilon_0 rc^2}\)
这就解释了，在实验参考系下，移动的测试电荷受到一个垂直于其速度方向的电场力，而且正比于导线中的电流强度。这就是电场和磁场的统一。
Appendix
狭义相对论下的速度合成律
假设一个物体在F参考系下，向x轴正方向做速度为$u_x$的运动，即跟参考系的运动方向平行，那么在F’参考系（相对于F以速度$v$运动）的速度$u_x’$是多少呢？为简化起见，让该运动物体在t = 0时通过原点，那么它在任何时间 t 在 F 中的位置就是x = $u_xt$。为了进一步简化，让F和F’的空间和时间原点重合。那么通过洛伦兹变换可知：
\[x'=\gamma x-\beta\gamma ct\] \[t'=\gamma t-\beta\gamma x/c\]所以，
\[u_x'=\frac{x'}{t'}=\frac{u_x-v}{1-u_xv/c^2}\] \[u_x=\frac{u_x'+v}{1+u_x'v/c^2}\]如果物体运动的方向跟参考系的运动方向垂直，比如y轴方向，那么
\[y'=y\] \[t'=\gamma t-\beta\gamma x/c\]同样地，假设$x=u_xt$和$y=u_yt$
\[u_y'=\frac{y'}{t'}=\frac{u_y}{\gamma(1-u_xv/c^2)}\]狭义相对论下的动量，力和能量
狭义相对论下的动力学结果可以表示如下。假设一个粒子在惯性系F下以速度$u$运动，为了满足能量和动量守恒定律，我们定义
\[p=\gamma m_0 u\] \[E=\gamma m_0 c^2\]其中$m_0$是粒子的静止质量。而在另外一个惯性系F’中（相对于F以速度$v$运动），
\[p_x'=\gamma p_x-\beta\gamma E/c\] \[p_y'=p_y\] \[p_z'=p_z\] \[E'=\gamma E-\beta\gamma cp_x\]力的定义是动量随时间的变化率$dp/dt$。假设在F参考系下的力为$f_x$，那么在$\Delta t$后，动量$p_x$将从0增加到$f_x\Delta t$，而位移$\Delta x=\frac{1}{2}(\frac{f_x}{m_0})(\Delta t)^2$，所以粒子能量是$\Delta E=(f_x\Delta t)^2/2m_0$。我们还知道$\Delta p_x’=\gamma \Delta p_x-\beta\gamma \Delta E/c$和$\Delta t’=\gamma \Delta t-\beta\gamma \Delta x/c$，即位移$\Delta x$和能量$\Delta E$都正比于$(\Delta t)^2$，为高阶无穷小。我们提取极限$\Delta t\to 0$，
\[\frac{dp_x'}{dt'}=\displaystyle \lim_{ \Delta t' \to 0}\frac{\Delta p_x'}{\Delta t'}=\frac{\gamma(f_x\Delta t)}{\gamma\Delta t}=f_x\]结论是：平行于相对参考系运动的力分量在运动参考系中与在静止坐标系中具有相同的值。如果垂直的力分量呢？同样地，我们由$\Delta p_y=f_y\Delta t=\Delta p_y’$和$\Delta t’=\gamma\Delta t$得
\[\frac{dp_y'}{dt'}=\frac{f_y\Delta t}{\gamma\Delta t}=\frac{f_y}{\gamma}\]结论是：垂直于相对参考系运动的力分量在运动参考系中比在静止坐标系中少了$1/\gamma$倍。
测试电荷参考系下的电子线密度
已知：$\beta_0=\frac{v_0}{c}$，$\beta=\frac{v}{c}$，$\gamma_0=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_0^2}}$和$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$。由上述的狭义相对论速度合成律可知，在测试电荷参考系下，洛伦兹因子$\beta_0’$
\[\beta_0'=\frac{v_0'}{c}=\frac{1}{c}\frac{v_0-v}{1-v_0v/c^2}=\frac{\beta_0-\beta}{1-\beta_0\beta}\]而其对应的$\gamma_0’$
\[\gamma_0'=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_0'^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{\beta_0-\beta}{1-\beta_0\beta})^2}}=\frac{1-\beta_0\beta}{\sqrt{(1-\beta_0\beta)^2-(\beta_0-\beta)^2}}=\frac{1-\beta_0\beta}{\sqrt{(1-\beta_0)^2(1-\beta)^2}}\]最终
\[\gamma_0'=\gamma\gamma_0(1-\beta_0\beta)\]Reference
- Rousseau, Jean-Jacques. Lettres philosophiques. Le Livre de Poche, 2011.
- 《从牛顿定律到爱因斯坦相对论》，方励之、褚耀泉，1981年.
- Einstein, Albert. “Zur elektrodynamik bewegter körper.” Annalen der physik 4 (1905).
- ELECTRICITY AND MAGNETISM, Edward M. Purcell, David J. Morin, Harvard University, Massachusetts.